Je gagne au loto avec Kolmogorov

Certains disent que “le loto est un impôt sur les gens qui sont mauvais en maths”. Je crois plutôt que c’est un impôt sur la mauvaise perception des humains de l’infiniment petit, et en particulier, des probabilités très faibles. (OK, ma formule est moins sexy.)

C'était il y a presque trente ans, et j’ai encore un souvenir très vif d’un cours de mécanique quantique du regretté Jean-Louis Basdevant. Jeunes étudiants, nous découvrions émerveillés qu’une particule peut se téléporter "magiquement", par ce qu'on appelle l'effet tunnel, d’un point A à un point B !

Puis Basdevant nous a fait calculer la probabilité, si on se bande les yeux et tape au hasard sur un clavier pendant deux jours, de découvrir sur l’écran qu’on a écrit l’Ancien et le Nouveau Testament sans aucune faute. Catastrophe, cette probabilité-là était supérieure à celle d’observer notre effet tunnel ! Espoirs douchés.

Pour en revenir au loto, il est intéressant d’interroger les gens sur leur perception de la probabilité de différents tirages. Typiquement, les gens pensent qu’une séquence trop régulière, par exemple 1 2 3 4 5 6, est un tirage beaucoup moins probable que quelque chose qui semble irrégulier comme 3 8 12 23 37. (Évidemment, tous les tirages ont exactement la même probabilité, sauf si le jeu est truqué !)

Il existe une mesure formelle de cette perception de “séquence irrégulière”, c’est la complexité de Kolmogorov. En gros, c’est la longueur du programme le plus court qui peut engendrer cette séquence. Par exemple pour une séquence régulière :

Séquence : 1 2 3 4 5 6
Programme : "1 à 6"
Complexité de Kolmogorov (nombre de caractères du programme) : 5

Alors que pour une séquence irrégulière, il n’y a aucun moyen de “compresser” l’information, on est obligés d'énumérer les chiffres :

Séquence : 3 8 12 23 37
Programme : “3,8,12,23,37”
Complexité de Kolmogorov (nombre de caractères du programme) : 12

La perception des gens de la probabilité d’une séquence au loto est proportionnelle à sa complexité de Kolmogorov. En cochant les cases au bureau de tabac, les Français font du Kolmogorov sans le savoir.

Tous les tirages sont équiprobables, mais aussi indépendants : le tirage sorti hier a tout autant de chances de ressortir aujourd’hui que n’importe quel autre tirage (j’ai arrêté d’essayer de convaincre les joueurs de ça, c’est impossible). Faut-il en conclure que les maths sont inutiles pour jouer au loto ?

Pas tout à fait. En effet, la cagnotte est partagée par les joueurs ayant choisi la bonne combinaison. Donc, si je gagne, je gagne beaucoup plus si personne d’autre n’a le bon tirage. Forts de nos connaissances kolmogoroviennes, nous prévoyons que moins de joueurs auront coché 1 2 3 4 5 7 que 3 8 12 23 37, par exemple. Il vaut mieux jouer une séquence à faible complexité de Kolmogorov : si elle n’a pas plus de chances de tomber qu’une autre, en revanche, si elle tombe, statistiquement moins de joueurs l’auront choisie, et donc le prix sera plus grand.

Cela étant dit, même si ces stratégies améliorent un peu vos chances, les maths (et l’Etat) sont sans appel : l’espérance de gain au loto reste très mauvaise. 53% seulement des mises sont redistribuées en tant que gains aux joueurs. C'est-à-dire qu'en face d'une mise de 10€, l'espérance de gain n'est que 5,30€ ! Quand un Français de 52 ans achète un billet de loto, sa probabilité de gagner le gros lot est la même que celle de décéder au cours des prochaines 4 minutes 30. Ca donne envie.

Faut-il s’abstenir de jouer ? Pas nécessairement. On pourrait arguer que l’émotion procurée par le jeu, l’espoir, l’adrénaline, est un loisir comme un autre, qui vaut l’argent qu’on y dépense (évidemment, en supposant qu’on ne tombe pas en dépendance). Faut-il payer dix euros pour jouer à un jeu de hasard, ou dix euros pour jouer à un jeu d’arcade ? Je ne juge pas.

On peut toutefois choisir ses jeux. Au blackjack, si le joueur joue mécaniquement comme le croupier (il tire une carte jusqu’à 16 et s’arrête sur 17 et plus, sans jamais doubler ni partager les cartes), l’espérance de gain pour 10€ est alors de 9,52 € – nettement plus avantageux que le loto ! (on peut adopter des stratégies qui augmentent cette espérance jusqu’à environ 9,90€, mais pas plus : la banque a un avantage faible mais imbattable).

En ajoutant à ça la valeur des boissons offertes par le casino pendant que tu joues, et en supposant que tu gardes ton calme et ne tombe pas dans leur piège, et joues à une table à faible mise ($5), l’espérance devient même positive. Tu perds $0.25/partie, disons $15/heure, en buvant deux Cosmos gratuits qui valent $20 si tu les prends au bar : gain de $5. (Je viens de te partager mon secret “loisir pas cher” à Vegas.)

En conclusion : ne jetons pas tous les jeux avec l’eau du bain. Avec un peu de recul et un peu de Kolmogorov, on peut s’amuser !

J’ai claqué beaucoup d’argent dans l’alcool, les filles et les voitures de sport, le reste je l’ai gaspillé.
(George Best)